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1. 기본 계수 법칙
1.1. 곱의 법칙
•
두 사건 A, B가 일어날 경우의 수
◦
N(A) = m
◦
N(B) = n
•
사건 A, B가 동시에 일어날 경우의 수
◦
𝒎 × 𝒏
•
𝑵(𝑨 × 𝑩) = 𝑵(𝑨) × 𝑵(𝑩) = 𝒎 × 𝒏
1.2. 합의 법칙
•
두 사건 A, B가 일어날 경우의 수
◦
N(A) = m
◦
N(B) = n
•
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅
•
사건 A 또는 B가 일어날 경우의 수
◦
𝒎 + 𝒏
•
𝑵(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑵(𝑨) + 𝑵(𝑩) = 𝒎 + 𝒏
1.3. 합집합의 크기
•
사건 X, Y, Z가 발생할 방법의 집합을 각각 A, B, C라고 하면
◦
X 또는 Y가 발생할 경우의 수
▪
| 𝑨 ∪ 𝑩 | = |𝑨| + |𝑩| − |𝑨 ∩ 𝑩|
◦
X 또는 Y 또는 Z가 발생할 경우의 수
▪
| 𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 |
= |𝑨| + |𝑩| + |𝑪|
− |𝑨 ∩ 𝑩| − |𝑨 ∩ 𝑪| − |𝑩 ∩ 𝑪|
+ |𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪|
예제
2. 순열
5! / (5-2)!
2.1. 순열
•
𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝒏을 만족하는 정수 n, r에 대하여, n개의 원소를 갖는 집합에서 순서를 고려해서 r개의 원소를 뽑는 경우의 수
•
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟐) ⋯ (𝒏 − 𝒓 + 𝟏)
•
𝑷(𝒏, 𝒓) = 𝒏!/(𝒏 − 𝒓)!
예제
2.2. 중복집합에서의 순열
•
중복된 원소를 허용하는 중복집합의 크기가 n이고 그 중에서 중복된 원소의 개수가 각각 p개, q개, ⋯, r개가 있을 때, n개 모두를 일렬로 배열하는 경우의 수
•
𝒏! / (𝒑! 𝒒! ⋯ 𝒓!)
예제
2.3. 중복순열
•
n개의 원소를 갖는 집합에서 중복을 허용하고 순서를 고려해서 r개 원소를 뽑는 경우의 수
•
nΠr = n^r
예제
2.4. 원순열
•
n개의 원소를 갖는 집합의 모든 원소들을 원형으로 나열하는 경우의 수
•
n!/n = n(n-1)!/n = (n-1)!
•
예제
◦
철수를 포함한 6명이 식사를 하러 갔다. 6명이 하나의 원탁에 앉고, 철수와 영희는 서로 마주 보고 앉아야 한다면, 앉을 수 있는 경우의 수는?
◦
철수와 영희는 마주보고 앉게 되므로 영희는 순열에서 제외. 5명이 원탁에 앉는 경우의 수는 (5-1)! = 4! =24
3. 조합
3.1. 조합
•
𝟎 ≤ 𝒓 ≤ 𝒏을 만족하는 정수 𝒓, 𝒏 에 대하여, 𝒏개의 원소를 갖는 집합에서 𝒓 개의 원소를 순서 없이 뽑는 경우의 수
•
𝑪(𝒏, 𝒓) = 𝑷(𝒏, 𝒓) / 𝒓!
•
𝑪(𝒏, 𝒓) = 𝒏! / 𝒓!(𝒏−𝒓)!
•
예제 1)
◦
8개의 버튼으로 된 자물쇠에서 4개의 버튼을 눌러 비밀번호를 만들려고 한다면 몇 가지 경우?
◦
8! / (8-4)!4! = 70
◦
참고)
▪
1개 선택: 8! / (8-1)!1! = 8
▪
2개 선택: 8! / (8-2)!2! = 28
▪
3개 선택: 8! / (8-3)!3! = 56
•
예제 2)
◦
12명의 타자 중 9명의 선발 타자를 뽑는 방법
◦
C(12, 9) = C(12,3) = 12! / (12-3)!3! = 12x11x10/3x2x1 = 220
3.2. 이항 정리
•
임의의 실수 𝒙, 𝒚와 음이 아닌 정수 𝒏이 주어졌을 때,
예제
4. 이산확률
4.1. 표본공간과 사건
•
실험을 하였을 때, 가능한 모든 결과 중에서 반드시 하나의 결과만 나타난다고 가정
•
표본공간(sample space)
◦
실험의 모든 결과의 집합
•
사건(event)
◦
표본공간의 부분집합
4.2. 수학적 확률
•
표본공간 𝑺가 유한하며 각 사건이 발생할 가능성이 모두 동일 가정
•
사건 𝑬(⊂ 𝑺) 가 발생할 확률
◦
P(E) = |E| / |S|
•
예제
◦
주사위를 두 번 던졌을 때, 숫자의 합이 3일 확률
◦
주사위를 두 번 던졌을 때 표본공간의 크기는 𝟔^𝟐 = 36
◦
숫자의 합이 3인 사건은 (1, 2), (2, 1)
◦
확률 𝟐 / 𝟑𝟔 = 𝟏 / 𝟏𝟖
4.3. 조건부 확률
•
표본공간 𝑺에 두 사건 𝑨, 𝑩가 있고, 𝑷(𝑩) > 𝟎이라고 가정
•
조건부 확률(conditional probability)
◦
사건 𝑩가 발생했다는 가정하에 사건 𝑨가 발생할 확률
◦
𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑨∩𝑩) / 𝑷(𝑩)
예제
5. 점화식
•
수열의 항 사이에서 성립하는 관계식
예제
6. 비둘기집 원리
•
𝒌개의 상자에 𝑵개의 물체를 넣게 되면, 적어도 하나의 상자는 ⌈ 𝑵 / 𝒌 ⌉ 개 이상의 물체를 포함하게 됨
예제