Total
Search
1. 기본사항
1.1. 함수
•
𝑿, 𝒀가 집합일때, 𝑿에서 𝒀로의 함수(function) 𝒇
•
∀𝒙 ∈ 𝑿, ∃! 𝒚 ∈ 𝒀, 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 를 만족하는 𝑿에서 𝒀로의 관계 [ 𝒇 ⊂ 𝑿 × 𝒀 ]
•
𝑿의 임의의 원소 𝒙에 대해 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒇 를 만족하는 [ 𝒇(𝒙) = 𝒚 를 만족하는] 𝒚가 𝒀에 오직 하나만 존재하는 경우
•
f(X) → Y
◦
𝑿: 𝒇의 정의역
◦
𝒀: 𝒇의 공역
•
y = f(x)
◦
𝒚: 𝒙의 상 (image)
◦
𝒙: 𝒚의 역상
•
𝒇(𝑿) : 𝒇의 치역
◦
𝒇 𝑿 = {𝒚 ∈ 𝒀 |∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒚 = 𝒇 (𝒙) }
1.2. 상수함수와 상등함수
•
상수함수
◦
𝒇: 𝑿 → 𝒀, ∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇 𝒙 = 𝒄 (𝒄는 상수)
•
항등함수
◦
𝒇: 𝑿 → 𝑿, ∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇 𝒙 = 𝒙
◦
𝑰𝒙
1.3. 함수의 상등
•
𝒇: 𝑿 → 𝒀, 𝒈∶𝑨 → 𝑩가 함수일 때
① 𝑿 = 𝑨, 𝒀 = 𝑩
② ∀𝒙 ∈ 𝑿, 𝒇(𝒙) = 𝒈(𝒙)
→ 𝒇와 𝒈는 상등하다 [서로 같다]
(𝒇 = 𝒈로 표시)
1.4. 예제
예제 1
예제 2
예제 3
예제 4
예제 5 (함수의 상등)
2. 전사, 단사, 역함수
2.1. 전사함수와 단사함수
•
전사 함수
◦
치역이 공역과 같을때
◦
X, Y 모든 원소가 다 연결되어 있음
•
단사 함수
◦
원소가 하나씩만 연결되어있음
•
전단사 함수
예시
2.2. 역함수와 합성함수
•
역함수
◦
함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀가 전단사함수일 때 𝒇의 역관계 𝒇^−𝟏를 𝒇의 역함수라고 함
예제
•
합성함수
◦
𝑿, 𝒀, 𝒀′, 𝒁 : 집합, 𝒀′ ⊂ 𝒀
◦
두 함수 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒀′와 𝒈 ∶ 𝒀 → 𝒁에 대해 다음과 같이 정의되는 함수 𝒈 ∘ 𝒇 ∶ 𝑿 → 𝒁를 𝒇와 𝒈의 합성함수(composition function)
◦
∀𝒙 ∈ 𝑿, (𝒈 ∘ 𝒇)(𝐱) ≡ 𝒈(𝒇(𝒙))
•
전사함수의 합성함수
◦
두 함수 𝒇∶𝑿 → 𝒀, 𝒈: 𝒀 → 𝒁가 전사함수
⇒ 𝒈 ∘ 𝒇 : 𝑿 → 𝒁도 전사함수
•
단사함수의 합성함수
◦
두 함수 𝒇∶𝑿 → 𝒀, 𝒈: 𝒀 → 𝒁가 단사함수
⇒ 𝒈 ∘ 𝒇 : 𝑿 → 𝒁도 단사함수
•
합성함수의 성질
◦
𝒇 ∘ 𝒈 ≠ 𝒈 ∘ 𝒇
◦
𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 = 𝒇 ∘ (𝒈 ∘ 𝒉)
•
항등함수와 합성함수
◦
함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀
◦
항등함수 𝑰𝒙,: 𝑿 → 𝑿
◦
항등함수 𝑰𝒚: 𝒀 → 𝒀
◦
𝒇 = 𝒇 ∘ 𝑰𝒙 = 𝑰𝒚 ∘ 𝒇
•
역함수와 합성함수
◦
전단사함수 𝒇: 𝑿 → 𝒀
◦
전단사함수 𝒈 𝒀 → 𝒁
① 𝒇^−𝟏 ∘ 𝒇 = 𝑰𝒙, 𝒇 ∘ 𝒇^−𝟏 = 𝑰𝒚
② (𝒈 ∘ 𝒇)^−𝟏 = 𝒇^−𝟏 ∘ 𝒈^−𝟏
3. 함수의 종류
3.1. 계승함수 (factorial)
•
n: 음이 아닌 정수
3.2. 바닥함수와 천장함수
•
바닥함수 (floor function)
◦
실수 𝒙에 대해, 𝒙 보다 작거나 같으면서 가장 큰 정수를 구하는 함수
◦
⌊𝒙⌋ = 𝒎𝒂𝒙 { 𝒎 ∈ ℤ | 𝒎 ≤ 𝒙 }
▪
예시
•
⌊𝟐. 𝟔⌋ = 𝟐
•
⌊−𝟐. 𝟔⌋ = −𝟑
◦
바닥함수의 성질
•
천장함수 (ceiling function)
◦
실수 𝒙에 대해, 𝒙 보다 크거나 같으면서 가장 작은 정수를 구하는 함수
◦
⌈𝒙⌉ = 𝒎𝒊𝒏 { 𝒏 ∈ ℤ | 𝒙 ≤ 𝒏 }
◦
예시
▪
⌈𝟐. 𝟔⌉ = 𝟑
▪
⌈−𝟐. 𝟔⌉ = −𝟐
◦
천장함수의 성질
3.3. 나머지 함수
•
나머지 함수(modulo function) [모듈로 함수 / mod 함수]
◦
정수 𝒏 과 양의 정수 𝒎에 대해 𝒏을 𝒎으로 나누었을 때의 나머지를 구하는 함수
◦
𝒏 𝒎𝒐𝒅 𝒎으로 표기
•
음의 정수일때는 아래 점화식으로 계산 가능
3.4. 예제
나머지함수