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1. 기본사항
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행렬
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행과 열로 구성되는 사각형 형태로 수를 배열한 것
1.1. 행렬
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𝒎 × 𝒏 행렬
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𝒎, 𝒏이 양의 정수일 때, 𝒎개의 행과 𝒏개의 열로 구성된 직사각형의 수 배열 𝑨
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원소 표기
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행렬 𝑨 에서 𝒊번째 행의 𝒋번째 열의 수를 행렬 𝑨 의 (𝒊, 𝒋) 원소라 하며, 𝒂𝒊𝒋로 표시함.
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행렬 𝑨 를 간단히 𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 로 표기하기도 함.
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행벡터와 열벡터
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행벡터 (row vector) : 𝟏 × 𝒏 행렬
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열벡터 (column vector) : 𝒎 × 𝟏 행렬
1.2. 영행렬
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모든 원소가 0인 행렬
2. 행렬의 연산
2.1. 기본연산
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행렬의 합, 차, 스칼라 곱
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크기가 같은 행렬 𝑨, 𝑩가 있고, 𝒌를 실수라 할 때,
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𝑨 + 𝑩 → 𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋
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𝑨 − 𝑩 → 𝒂𝒊𝒋− 𝒃𝒊𝒋
◦
𝒌𝑨 → 𝒌𝒂𝒊𝒋
•
행렬의 합과 스칼라 곱의 연산법칙
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같은 크기의 행렬 A,B,C에 대하여 다음과 같은 연산법칙을 만족
(𝒂, 𝒃는 실수이고 𝑶은 모든 원소가 0인 영행렬을 의미)
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행렬의 곱
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𝑨 = 𝒎 × 𝒏 행렬, 𝑩가 𝒏 × 𝒍 행렬일 때,
◦
𝑨𝑩 = 𝒎 × 𝒍 행렬
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cf) 벡터의 내적
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행렬의 곱을 내적으로 나타낼 수 있음
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행렬의 곱 연산 특이 성질
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AB ≠ BA
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∃𝑨 ≠ 𝑶, ∃𝑩 ≠ 𝑶 ⇒ 𝑨𝑩 = 𝑶
2.2. 가우스 소거법
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만일 𝑨의 역행렬 𝑨^−𝟏이 존재한다면 𝑨𝑿 = 𝑩의 양변에 𝑨^−𝟏를 곱하면
𝑨^−𝟏𝑨𝑿 = 𝑰𝑿 = 𝑿 = 𝑨^−𝟏𝑩 와 같이 방정식의 해를 구할 수 있음.
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기본행연산
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행 교환 (row interchange) 연산 ( 𝑹𝒊,𝒋 )
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두 행의 위치를 서로 바꾸는 연산
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행 스케일링 (row scaling) 연산 ( 𝑹𝒊(𝒄) )
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하나의 행에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 연산
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행 대체 (row replacement) 연산 ( 𝑹𝒊,𝒋(𝒄) )
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하나의 행에 스칼라 곱을 해서 다른 행에 더하는 연산
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가우스 소거법 (가우스 조르단 소거법)
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행제행 행렬
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다음 세 가지 조건을 만족하는 행렬을 행사다리꼴(행제형)이라고 한다.
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영행이 아닌 행은 영행의 위에 있다.
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영행이 아닌 행의 첫 번째 0이 아닌 원소를 그 행의 선도원소라 하는데, 모든 선도원소는 1이다.
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주어진 행의 선도원소는 그 아래 행의 선도원소보다 왼쪽에 있다.
예제
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소거 행제형 행렬
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선도원소가 포함된 열에서 선도원소를 제외한 모든 원소는 0이다.
예제
가우스 소거법 예제
3. 행렬의 종류
3.1. 정방행렬
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𝒏 × 𝒏 행렬을 𝒏차 정방행렬이라고 함
•
𝒏을 정방행렬의 차수라고 함
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정방행렬의 a11, a22, ann 을 대각원소라고 함
•
대각원소를 포함하는 대각선을 주대각선이라고 함
3.2. 대각행렬
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대각원소를 제외한 모든 원소가 0인 행렬
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정방행렬이 모두 0이어도 대각행렬이라고 볼 수 있음
3.3. 단위행렬
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𝒏차 정방행렬에서 대각원소가 모두 1이고
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나머지 원소는 모두 0인 행렬을 단위행렬이라 함. (𝑰𝒏으로 표기)
•
즉, 𝒊 = 𝒋이면 𝒂𝒊𝒋 = 𝟏 이고, 𝒊 ≠ 𝒋이면 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎 이다.
3.4. 대칭행렬
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𝒏차 정방행렬에서 𝒂𝒊𝒋 = 𝒂𝒋𝒊인 행렬
정방행렬, 단위행렬, 대각행렬, 대칭행렬 예시
3.5. 역대칭행렬
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𝒏차 정방행렬에서 𝒂𝒊𝒋 = −𝒂𝒋𝒊이고
•
대각원소가 모두 0인 행렬
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즉, 𝒊 = 𝒋이면 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎이고, 𝒊 ≠ 𝒋이면 𝒂𝒊𝒋 = −𝒂𝒋𝒊이다.
3.6. 삼각행렬
n차 정방행렬에서
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상삼각행렬 : 주대각선 아래에 있는 모든 원소들이 0일 경우
(𝒊 > 𝒋일 때, 𝒂𝒊𝒋 = 0)
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하삼각행렬 : 주대각선 위에 있는 모든 원소들이 0일 경우
(𝒊 < 𝒋일 때, 𝒂𝒊𝒋 = 0)
•
삼각행렬 : 상삼각행렬 또는 하삼각행렬
예제
3.7. 전치행렬
•
𝒎 × 𝒏 행렬 𝑨가 주어졌을 때, 𝑨 의 행과 열을 서로 교환한 행렬
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𝑨^𝑻의 크기는 𝒏 × 𝒎
예제
3.8. 역행렬
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𝒏 차 정방행렬 𝑨, 𝑩가 주어졌을 때, 𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 𝑰𝒏인 행렬 𝑩가 존재하는 경우
행렬 𝑨 를 역가능(invertible)하다고 한다.
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이때, 행렬 𝑩 를 행렬 𝑨의 역행렬이라고 하고 𝑨^−𝟏로 표기한다.
3.9. 부울행렬
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행렬의 모든 원소가 부울값(0 or 1)으로만 구성된 행렬
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부울행렬의 합 (Or)
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크기가 𝒎 × 𝒏인 두 행렬 𝑨 =[𝒂𝒊𝒋]와 𝑩 =[𝒃𝒊𝒋]가 부울행렬일 때,
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𝑪 = 𝑨 ∨ 𝑩
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부울행렬의 교차 (And)
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크기가 𝒎 × 𝒏인 두 행렬 𝑨 =[𝒂𝒊𝒋]와 𝑩 =[𝒃𝒊𝒋]가 부울행렬일 때,
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𝑪 = 𝑨 ∧ 𝑩
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부울행렬의 곱
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𝒎 × 𝒏 행렬 𝑨 =[𝒂𝒊𝒋]와 𝒏 × 𝒍 행렬 𝑩 =[𝒃𝒊𝒋]가 부울행렬일 때,
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𝒎 × 𝒍 크기의 부울행렬 𝑪 이며,
◦
𝑪 = 𝑨⨀𝑩
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𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝟏 ∧ 𝒃𝟏𝒋 ∨ 𝒂𝒊𝟐 ∧ 𝒃𝟐𝒋 ∨ ⋯ ∨ (𝒂𝒊𝒏 ∧ 𝒃𝒏𝒋)
예시